Was bedeuted der Konvergenzradius gleich 0?


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Hi, Habe ein Frage bzgl. Potenzreihen. Wenn man am als Konvergenzradius = 0 (bei einer normalen Potenzreihe) herausbekommt, bedeutet es dann, dass die Reihe nur für den Entwicklungspunkt konvergiert? So habe ich es verstanden, bin mir aber nicht ganz sicher. Vielen Dank für eure Hilfe. Gruß Andreas

 

gefragt vor 1 Monat, 1 Woche
a
ansolid,
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3 Antworten
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Hallo,

die Reihe muss nicht in dem Entwicklungspunkt konvergieren, aber sie kann es. Sie konvergiert aber auf jeden Fall in keinem anderen Punkt, wenn der Konvergenzradius gleich Null ist.

Es gilt allgemein für

  1. \( \vert x - x_0 \vert < r \) konvergiert die Reihe absolut.
  2. \( \vert x - x_0 \vert = r \) darüber kann keine allgemeine Aussage getroffen werden
  3. \( \vert x - x_0 \vert > r \) die Reihe divergiert.

Bei dir liegt nur der zweite Fall vor. Also musst du den Entwicklungspunkt in deine Reihe einsetzen und überprüfen, ob die Reihe für diesen Wert konvergiert.

Du musst die Randpunkte des Konvergenzbereiches immer seperat überprüfen.

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Monat, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 15068
 
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Aber ist es nicht bei Potenzreihen (und darum ging es hier) so, dass sie immer in dem Entwicklungspunkt konvergieren...

Siehe:

https://www.youtube.com/watch?v=hSmaHQg0HeA

 

geantwortet vor 1 Monat, 1 Woche
vt5, verified
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Wollte mir das 34 Minuten Video jetzt nicht angucken.. aber es macht natürlich Sinn. Man kann ganz allgemein den Entwicklungspunkt einsetzen und erhält

\( \sum a_n (x_0 - x_0)^n = \sum a_n \cdot 0  = 0 \) 

Danke @vt5

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Monat, 1 Woche
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 15068
 

Ja genau darauf wird eingegangen, und auf das Problem das für r sonst keine Aussage getroffen werden kann...   -   vt5, verified kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche

Alles klar.
Danke für eure Antworten.
  -   ansolid, kommentiert vor 1 Monat, 1 Woche
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