Differentialgleichung - Lösen


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Hallo,

ich habe folgende Differentialgleichung 1 Ordnung gegeben:

y'(t) = cos(t) * (1+y)

Anfangswertproblem: y(0) =  1

Mein problem liegt darin, dass ich nicht entziffern kann/mir nicht sicher bin wie ich die einzelnen Funktionen ermittel.

Wenn ich ausklammer dann kommt folgendes raus:

y'(t) = cos(t) + cos(t)*y <- Ich bin mir nicht sicher, ob das richtig ist.

Kann mir jemand weiterhelfen? Vielen Dank!

 

gefragt vor 1 Monat
u
unimathenoob,
Student, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Hallo,

du kannst hier die Trennung der Variablen nutzen. Dafür solltest du nicht ausklammern. 

Es gilt \( y'(t) = \frac {dy} {dt} \). Wenn du die andere Seite der DGL in eine Funktion in Abhängigkeit der Variable und eine in Abhängigkeit der Funktion separieren kannst, bietet sich immer die Methode Trennung der Variablen an. 

\( \frac {dy} {dt} = u(t) \cdot v(y) \\ \Rightarrow \frac 1 {v(y)} dy = u(t) dt \\ \Rightarrow \int \frac 1 {v(y)} dy = \int u(t) dt \)

Wenn du beide Seiten integriert hast, kannst du die Gleichung nach \( y \) umstellen. 

Was ist nun dein \( u(t) \) und \( v(y) \)? 

Grüße Christian

geantwortet vor 1 Monat
christian strack, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 14903
 

Hallo Christian,

dann müsste u(t) = cos(t) sein und v(y) = (1+y).

Wenn ich die nächsten Rechenschritte ausführe komme ich beim Integrieren von u(t)dt auf sin(x) + c beim v(y) auf 1/(1+y) wäre davon dann die Stammfunktion: ln(y)?

Gruß!
  -   unimathenoob, kommentiert vor 1 Monat

Fast richtig. Die Funktionen stimmen soweit. Es gilt
\( \int \frac 1 {y+1} dy = \int \cos(t) dt \\ \Rightarrow \ln( y +1 ) = \sin(t) + c \)
Diese Gleichung musst du nun noch nach \( y \) umstellen.

Wenn wir es ganz genau nehmen, gilt sogar
\( \int \frac 1 {y+1} dy = \ln(\vert y+1 \vert) \)

Durch die Fallunterscheidung würdest du zwei Lösungen erhalten die sich nur bis auf das Vorzeichen der Integrationskonstante unterscheiden. Durch die Integrationskonstante relativiert sich das ganze aber, da erst durch die Randbedingung eine eindeutige Lösung erzeugt wird.

Was erhälst du als \( y(t) \)?

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Monat

Ich müsste dann ja die e-Funktion zur aufhebung von ln anwenden. Dann würde nach y umgestellt die Funktion y(t) = e^(sin(t)+c) − 1 sein.   -   unimathenoob, kommentiert vor 1 Monat

Genau. Nutze noch die Potenzregeln um es dir mit der Integrationskonstanten einfacher zu machen
\( e^{\sin(t)+c} -1 = e^{\sin(t)} \cdot e^c -1 = Ae^{\sin(t)} -1 \), mit \( A= e^c \)
Nun nur noch die Randbedingung einsetzen und du bist fertig :)

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Monat

Das hat mir echt geholfen! Vielen Dank!
1 kleine Frage habe ich noch..: Bei der Randbedingung y(0) = 1 müsste ich bei der Integrationskonstanten c = 0 setzen damit ich eine mgl. Lösung bestimmt habe, oder?
  -   unimathenoob, kommentiert vor 1 Monat

Das freut mich sehr zu hören. :)
Nicht ganz.
\( y(0) = Ae^{\sin(0)} -1 = A - 1 = 1 \Rightarrow A = 2 \)

Grüße Christian
  -   christian strack, verified kommentiert vor 1 Monat
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