Bei jordan normalform


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Bei jordan normalform: wenn ich die anzahl der jordanblöcke, ihre größe, die eigenwete kenne: woher weiß ich, an welcher stelle der hauptdiagonalen, die eigenwerte zu stehen haben? Ich weiß nur, dass die eigenwerte mit alg. Vielfachheit größer als 1 immer paarweise nebeneinander/nacheinander auf der diagonalen zu finden sind. Aber woher weiß ich, an welcher stelle der oberen nebendiagonalen eine 1 kommt und wo nicht?

 

gefragt vor 4 Wochen, 1 Tag
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philippe7919,
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1 Antwort
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Hallo,

nehmen wir mal an du hast 3 Jordanblöcke. Davon seien zwei zum Eigenwert \( 2 \) und einer zum Eigenwert \( 3 \). 
Einer zum Eigenwert \( 2 \) habe dabei die Größe \( 2 \) und einer die Größe \( 1 \). Der Block zum Eigenwert \( 3 \) habe die Größe \( 3 \). 

Nun wäre beispielsweise folgende Matrix eine Jordansche Normalform der oben beschrieben Art

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \)

Du kannst dir das so vorstellen, das die Einsen unsere Jordanblöcke zusammen halten. Unser erster Block hat die Größe \( 2 \) und ist zum Eigenwert \( 2 \). Das siehst du daran das auf der Hauptdiagonalen zwei Zweien mit einer Eins "zusammengehalten" werden. 
Der nächste Block ist auch zum Eigenwert \( 2 \), allerdings hat er die Länge \( 1 \). Das siehst du daran, das keine \( 1 \) oberhalb oder rechts neben dem Eigenwert ist. 
Der letzte Block ist dann eben der zum Eigenwert \( 3 \) mit der Größe \( 3 \). 

Ich will aber noch anmerken, das es meistens nicht die eine Jordansche Normalform gibt. Die Reihenfolge hängt mit der Reihenfolge der Hauptvektoren innerhalb der Transformationsmatrix zusammen. 
Vertauschen wir den Platz von zwei Hauptvektorketten, so tauschen in der Jordanschen Normalform auch die zugehörigen Jordanblöcke den Platz. 

Grüße Christian

geantwortet vor 4 Wochen, 1 Tag
christian strack, verified
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