Betragsgleichung mit doppelten Beträgen (verschachtelt)


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Hi zusammen, ich habe folgende Betragsgleichung: ||2x-8|-3x|=4 Wie gehe ich die Aufgabe am besten an? Danke!

 

gefragt vor 1 Monat
s
shbn,
Student, Punkte: 10
 
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1 Antwort
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Ich würde zuerst eine Fallunterscheidung für den inneren Betrag vornehmen:

\(2x-8 \geq 0 \Leftrightarrow x\geq 4\)

Und dann für die gesamte linke Gleichungsseite:

\(|2x-8|-3x = 4\) ergibt für \(x\geq 4\):
\(2x-8-3x = 4 \Leftrightarrow x = -12 \Rightarrow L=\varnothing\)

und für \(x<4\):
\(-(2x-8)-3x = 4 \Leftrightarrow x = \dfrac{4}{5}\)


\(-(|2x-8|-3x) = 4\) ergibt für \(x\geq 4\):
\(-(2x-8-3x) = 4 \Leftrightarrow x = -4 \Rightarrow L=\varnothing\)

und für \(x<4\):
\(-(-(2x-8)-3x) = 4 \Leftrightarrow x= \dfrac{12}{5}\)


Somit ergibt sich als Lösung \(x = \dfrac{4}{5}\;\vee\; x=\dfrac{12}{5}\).

geantwortet vor 1 Monat
m
maccheroni_konstante, verified
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 13156
 

Danke für deine Antwort.
Eines ist mir noch nicht ganz klar, und zwar wieso bei
-(|2x-8|-3x) = 4 das Minus davor geschrieben wird?
Wenn x≥4 sollte das ganze doch positiv sein?
  -   shbn, kommentiert vor 4 Wochen, 1 Tag

Das gilt erst einmal nur für den inneren Betrag. Für den äußeren Betrag habe ich die Regel
$$|x| = a,\;\; a > 0 \Longrightarrow x = a \: \vee\: x = -a$$ angewandt.

Somit erhält man
I: \(|2x-8|-3x=4\) oder II: \(|2x-8|-3x=-4 \Leftrightarrow -(|2x-8|-3x) = 4\).
  -   maccheroni_konstante, verified kommentiert vor 4 Wochen

Klasse, vielen Dank. Das hat mir sehr geholfen!   -   shbn, kommentiert vor 4 Wochen
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